Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n1 liczba n^(2)+(n+1)^(2)+(n+2)^(2) przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n1 liczba n^(2)+(n+1)^(2)+(n+2)^(2) przy dziel...

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2

Na początku uprościłabym to wyrażenie do najprostszej postaci oczywiście pamiętając o wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia

n^2+n^2+2\cdot n\cdot 1+1^2+n^2+2\cdot n\cdot 2+2^2

n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4

3n^2+6n+5

teraz zauważamy, że jeśli końcową 5 rozłożymy na 3+2, to będziemy mogli wyciągnąć przed nawias trójkę, tak też zrobimy

3n^2+6n+3+2

3(n^2+2n+1)+2

Zauważamy, że to już jest koniec zadania, ponieważ wyrażenie z reszta z dzielenia zapisujemy jako $p\cdot q+r$

Źródło: CKE — matura, poziom podstawowy (formuła 2023)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2