Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥ 1 liczba (2n+1)^(2)-1 jest podzielna przez ...

Na początek rozwiniemy to wyrażenie do najprostszej postaci, czyli:

$(2n+1)^2-1=$

$4n^2+4n+1-1=$

$4n^2+4n$

jeśli wyciągniemy n przed nawias, to dostaniemy:

$4(n^2+n)$

Stąd wiemy, że to wyrażenie jest podzielne przez 4. Żeby całe wyrażenie było podzielne przez 8, to wyrażenie w nawiasie mysi być podzielne przez 2, dlatego musimy rozpatrzyć dwa przypadki. Jeden dla liczb parzystych, a drugi dla liczb nieparzystych.

Dla liczb parzystych za n podstawimy 2k (bo ten wyraz onacza liczby parzyste w wyrażeniach algebraicznych):

$n^2+n=(2k)^2+2k=$

$4k^2+2k=$
Teraz przed nawias wyciągniemy 2

$2(2k^2+k)$

Stąd wiemy, że to wyrażenie jest podzielne przez 2.

Teraz dla liczb nieparzystych za n podstawimy 2k+1 (tak oznaczamy liczby nieparzyste w wyrażeniach algebraicznych):

$n^2+n=(2k+1)^2+2k+1=$

$4k^2+4k+1+2k+1=$

$4k^2+6k+2$

Teraz wyciagniemy 2 przed nawias:

$2(2k^2+3k+1)$

Stąd wiemy, że wyrażenie jest podzielne przez 2.

Skoro dla liczb parzystych i nieparzystych wyrażenie jest podzielne przez 2, to całe wyrażenie jest podzielne przez 8.